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# Manuel Numérique de Mathématiques Informatique Terminale L

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Contenu :

## Exercice Résolu 2

### Énoncé :

Le graphique 1 représente la parabole G d'équation . A et B sont deux points de la parabole G. M est un point du segment [AB] et N est un point de la parabole G de même abscisse que le point M. On note m l'abscisse du point M. Dans le graphique 2, la trace du point S donne la représentation de l'aire du triangle MNB en fonction de m.

graphique 1 | graphique 2
--- | ---

### Question

Partie A : Lecture graphique

1. Déterminer les abscisses des points A et B.

2. Déterminer la longueur du segment [MN] lorsque m = 0. En déduire alors la position du point N.

3. Interpréter l'allure de la courbe décrite par la trace du point S.

Partie B : Recherche de l'aire maximale du triangle MNB.

1. Conjecture à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

   a. Construire le graphique 1 en respectant les contraintes de l'énoncé. ``

   `Appeler le professeur`

   b. Représenter dans un repère la trace du point S d'abscisse et d'ordonnée l'aire du triangle MNB.

   `Appeler le professeur`

   c. Déterminer les valeurs approchées au dixième près de l'aire maximale du triangle MNB et l'abscisse du point M correspondant.

2. Démonstration

   a. Montrer que l'aire du triangle MNB est telle que, pour x élément de l'intervalle [−4; 3],

   b. En déduire la valeur de x pour laquelle le maximum de est atteint et la valeur du maximum de .

   c. Conclure.

Solution

Partie A : Lecture graphique

1. L'abscisse du point A est et l'abscisse du point B est 3.

2. Lorsque , la distance du segment MN vaut environ 18 et le point est alors confondue avec l'origine du repère.

3. La trace du point S montre que l'aire du triangle MNB n'est pas constante et qu'elle présente une valeur maximale.

   Partie B : Recherche de l'aire maximale du triangle MNB.

   1. c. À l'aide de GeoGebra, on obtient que l'aire maximale du triangle MNB vaut environ 25,41 lorsque le point M a pour abscisse environ -1,66.

   2. a. La droite (AB) a pour . ) et

   La distance . La hauteur du triangle MNB relative au coté [MN] vaut .

   Donc l'aire du triangle MNB vaut :

   b. Pour , est maximal. Ce maximum vaut environ 25,407.

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